गैर-युक्लिडियन ज्यामितिको कथा: चन्द्रमाका दुई रेखाहरूएउटा समयको कुरा हो, जब पृथ्वीका ज्यामिति विज्ञहरू (गणितज्ञहरू) युक्लिड नामक एक महान् गुरुले दिएका पाँच अपरिवर्तनीय नियमहरूमा (Axioms/Postulates) पूर्ण विश्वास गर्थे। तीमध्ये सबैभन्दा महत्त्वपूर्ण नियम थियो: ‘समानान्तर रेखा स्वयंसिद्ध’ (The Parallel Postulate)।
यस नियमले भन्थ्यो— कुनै पनि रेखा र त्यो रेखा बाहिर रहेको बिन्दुबाट, त्यो पहिलो रेखासँग ठ्याक्कै एउटा मात्र समानान्तर रेखा कोर्न सकिन्छ।
यही नियममा आधारित थियो हाम्रो चिरपरिचित ज्यामिति, जसलाई युक्लिडियन ज्यामिति भनिन्छ, जुन विद्यालयमा हामीले पढ्छौं र दैनिक जीवनमा प्रयोग गर्छौं।
तर, एक रात, दुई जिज्ञासु विद्यार्थीहरू, जसलाई ज्या र मिति भनिन्थ्यो, उनीहरूको प्रयोगशालामा चन्द्रमाको प्रकाशमा बहस गरिरहेका थिए।
ज्या ले भन्यो, “यो युक्लिडको नियम अकाट्य छ। हामीले जहाँ पनि, जहिले पनि दुई समानान्तर रेखाहरू कोर्छौं, तिनीहरू कहिल्यै भेट्दैनन्।”
मिति मुस्कुराइन् र भनिन्, “के हुन्छ, यदि हामीले हाम्रो विश्वलाई एउटा सपाट कागजको पानाको सट्टा एउटा ठूलो बल जस्तो कल्पना गर्यौं भने?”
१. अण्डाकार ज्यामिति (Elliptic Geometry)
मिति आफ्नो हातले एक ठूलो ग्लोब (पृथ्वीको नमुना) मा औंला राख्दै बोली, “कल्पना गर, हामी चन्द्रमाको सतहमा छौं। चन्द्रमा गोलाकार (गोलीय) छ। अब, म एउटा ठूलो वृत्त कोर्छु, जुन चन्द्रमाको केन्द्रबाट भएर जान्छ (जसलाई महान् वृत्त वा Great Circle भनिन्छ)।”
“अब, मैले यस वृत्त बाहिर एउटा बिन्दु लिएँ। के म यो ठूलो वृत्तसँग समानान्तर हुने कुनै रेखा (अर्को ठूलो वृत्त) कोर्न सक्छु, जुन कहिल्यै भेट्दैन?”
ज्याले धेरै प्रयास गर्यो, तर उसले चन्द्रमाको सतहमा कोरेका सबै महान् वृत्तहरू (रेखाको रूपमा काम गर्ने) अनिवार्य रूपमा दुई बिन्दुमा भेट्ने निष्कर्ष निकाल्यो।
“अचम्म!” ज्याले भन्यो। “यो गोलाकार (गोलीय) संसारमा, त्यो बाहिरी बिन्दुबाट, पहिलो रेखासँग एउटा पनि समानान्तर रेखा कोर्न सकिँदैन! सबै रेखाहरू अन्ततः भेट्छन्!”
मिति हाँसिन्। “यसलाई अण्डाकार ज्यामिति (Elliptic Geometry) भनिन्छ। यसमा, त्रिभुजको भित्री कोणहरूको योग $180^\circ$ भन्दा धेरै हुन्छ।”
२. अतिपरवलयिक ज्यामिति (Hyperbolic Geometry)
“ठीक छ,” ज्याले भन्यो। “तर अर्को सम्भावना पनि त हुनुपर्छ?”
मिति मुस्कुराइन् र उनले एउटा घोडाको काठी जस्तो देखिने ज्यामितीय आकार ल्याइन् (जसलाई ऋणात्मक वक्रता वा Negative Curvature भएको सतह भनिन्छ)।
“अब हामी यो काठी-आकारको दुनियाँमा छौं, जसलाई हामी विपरीत-चन्द्रमा भनौं। यहाँ, सबै चीजहरू बाहिरपट्टि फैलिन्छन्।”
मिति काठीको बीचमा एउटा रेखा कोरिन्। त्यसपछि, त्यो रेखाभन्दा बाहिरको एउटा बिन्दुबाट, उनले एउटा समानान्तर रेखा कोर्ने प्रयास गरिन्।
आश्चर्य! उनले एउटा, दुईटा, तीनटा… कोर्दै गइन्। उनले पत्ता लगाइन् कि त्यो बिन्दुबाट पहिलो रेखासँग समानान्तर हुने (अर्थात्, कहिल्यै नछोइने) असंख्य रेखाहरू कोर्न सकिन्छ!
“हे भगवान्!” ज्याले करायो। “यो विपरीत-चन्द्रमाको दुनियाँमा, त्यो बाहिरी बिन्दुबाट पहिलो रेखासँग समानान्तर हुने धेरै रेखाहरू छन्!”
मितिले सहमति जनाइन्। “यसलाई अतिपरवलयिक ज्यामिति (Hyperbolic Geometry) भनिन्छ। यसमा, त्रिभुजको भित्री कोणहरूको योग 180 digree भन्दा कम हुन्छ।”
ज्या र मितिले त्यो रात बुझे कि युक्लिडको नियम केवल सपाट सतह (Flat Surface) को लागि मात्र सत्य थियो।
- यदि सतह गोलाकार (सकारात्मक वक्रता) छ भने, कुनै समानान्तर रेखा छैन। (अण्डाकार ज्यामिति)
- यदि सतह सपाट (शून्य वक्रता) छ भने, ठ्याक्कै एउटा समानान्तर रेखा छ। (युक्लिडियन ज्यामिति)
- यदि सतह काठी-आकारको (नकारात्मक वक्रता) छ भने, धेरै समानान्तर रेखाहरू छन्। (अतिपरवलयिक ज्यामिति)
युक्लिडियन ज्यामिति हाम्रो दैनिक अनुभवको लागि महत्त्वपूर्ण छ, तर गैर-युक्लिडियन ज्यामिति (अण्डाकार र अतिपरवलयिक) ले ब्रह्माण्डको ठूला रहस्यहरू, जस्तै अल्बर्ट आइन्स्टाइनको सामान्य सापेक्षता सिद्धान्त (General Relativity), बुझ्न मद्दत गर्छ, जहाँ गुरुत्वाकर्षणले हाम्रो अन्तरिक्षको वक्रता (Curvature) परिवर्तन गर्छ। यसरी, गैर-युक्लिडियन ज्यामिति केवल एक गणितीय खेल होइन, यो वास्तविक ब्रह्माण्डको आकार बुझ्ने कुञ्जी हो।
(जिमीनाइको सहयोगमा तयार पारिएको)
